Однородное электрическое поле создано равномерно. Напряженность электростатического поля

В однородном электрическом поле, сила, действующая на заряженную частицу, постоянна как по величине, так и по направлению. Поэтому движение такой частицы полностью аналогично движению тела в поле тяжести земли без учета сопротивления воздуха. Траектория частицы в этом случае является плоской, лежит в плоскости, содержащей векторы начальной скорости частицы и напряженности электрического поля

Потенциал электростатического поля. Общее выражение, связывающее потенциал с напряженностью.

Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

Потенциал - физическая величина, которая определяется работой по перемещению единичного положительного электрического заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, которую совершают внешние силы (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Единица потенциала - вольт (В): 1 В равен потенциалу такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная ранее единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н м/(Кл м)=1 Дж/(Кл м)=1 В/м.

Из формул (3) и (4) следует, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал данного поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

E = - grad фи = - N фи.

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q dфи, где d фи - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d фи или в декартовой системе координат

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d фи

где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала фи.

Принцип суперпозиции как фундаментальное свойство полей. Общие выражения для напряженности и потенциала поля, создаваемого в точке с радиус-вектором системой точечных зарядов, находящихся в точках с координатами.(см п.4)

Если рассмотреть принцип суперпозиции в самом общем смысле, то согласно ему, сумма воздействия внешних сил, действующих на частицу, будет складываться из отдельных значений каждой из них. Данный принцип применяется к различным линейным системам, т.е. таким системам, поведение которых можно описать линейными соотношениями. Примером может послужить простая ситуация, когда линейная волна распространяется в какой-то определённой среде, в этом случае её свойства будут сохраняться даже под действием возмущений, возникающих из-за самой волны. Эти свойства определяются как конкретная сумма эффектов каждой из гармоничных составляющих.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.

· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

6 Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциал поля. Работа любого электростатического поля при перемещении в нем заряженного тела из одной точки в другую также не зависит от формы траектории, как и работа однородного поля. На замкнутой траектории работа электростатического поля всегда равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Потенциальный характер, в частности, имеет электростатическое поле точечного заряда.
Работу потенциального поля можно выразить через изменение потенциальной энергии. Формула справедлива для любого электростатического поля.

7-11Если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

где En – произведение вектора на нормаль к данной площадке (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности ФЕ через эту поверхность.

В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

	Рис. 2.6	Рис. 2.7

Для рисунка 2.6 – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А2– окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.

Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный (подсчитайте число силовых линий).

Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.

Теорема Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR2. Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 1.3.3).

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

И графики к 7 – 11

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

12. Поле равномерно заряженной сферы .

Пусть электрическое поле создается зарядом Q , равномерно распределенным по поверхности сферы радиуса R (Рис. 190). Для вычисления потенциала поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы, необходимо вычислить работу, совершаемую полем при перемещении единичного положительного заряда от данной точки до бесконечности. Ранее мы доказали, что напряженность поля равномерно заряженной сферы вне ее эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре сферы. Следовательно, вне сферы потенциал поля сферы будет совпадать с потенциалом поля точечного заряда

φ (r )=Q 4πε 0r . (1)

В частности, на поверхности сферы потенциал равен φ 0=Q 4πε 0R . Внутри сферы электростатическое поле отсутствует, поэтому работа по перемещению заряда из произвольной точки, находящейся внутри сферы, на ее поверхность равна нулю A = 0, поэтому и разность потенциалов между этими точками также равна нулю Δφ = -A = 0. Следовательно, все точки внутри сферы имеют один и тот же потенциал, совпадающий с потенциалом ее поверхности φ 0=Q 4πε 0R .

Итак, распределение потенциала поля равномерно заряженной сферы имеет вид (Рис. 191)

φ (r )=⎧⎩⎨Q 4πε 0R , npu r <RQ 4πε 0r , npu r >R . (2)

Обратите внимание, поле внутри сферы отсутствует, а потенциал отличен от нуля! Этот пример является яркой иллюстрацией, того, что потенциал определяется значением поля от данной точки до бесконечности.

Жидкевич В. И. Электрическое поле плоскости // Фізіка: праблемы выкладання. - 2009. - № 6. - С. 19-23.

Задачи по электростатике можно разделить на две группы: задачи о точечных зарядах и задачи о заряженных телах, размеры которых нельзя не учитывать .

Решение задач по расчёту электрических полей и взаимодействий точечных зарядов основано на применении закона Кулона и не вызывает особых затруднений. Более сложным является определение напряжённости поля и взаимодействия заряженных тел конечных размеров: сферы, цилиндра, плоскости. При вычислении напряжённости электростатических полей различной конфигурации следует подчеркнуть важность принципа суперпозиции и использовать его при рассмотрении полей, созданных не только точечными зарядами, но и зарядами, распределёнными по поверхности и объёму. При рассмотрении действия поля на заряд формула F=qE в общем случае справедлива для точечных заряженных тел и только в однородном поле применима для тел любых размеров и формы, несущих заряд q.

Электрическое поле конденсатора получается в результате наложения двух полей, созданных каждой пластиной.

В плоском конденсаторе можно рассматривать одну пластину как тело с зарядом q 1 помещённое в электрическое поле напряжённостью Е 2 , созданное другой пластиной.

Рассмотрим несколько задач.

1. Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ >0. Найдите напряжённость поля Е и потенциал ϕ по обе стороны плоскости, считая потенциал плоскости равным нулю. Постройте графики зависимостей Е(х), ϕ (х). Ось х перпендикулярна плоскости, точка х=0 лежит на плоскости.

Решение. Электрическое поле бесконечной плоскости является однородным и симметричным относительно плоскости. Его напряжённость Связь между напряжённостью и разностью потенциалов между двумя точками однородного электростатического поля выражается формулой где х - расстояние между точками, измеренное вдоль силовой линии. Тогда ϕ 2 = ϕ 1 -Eх . При х<0 при х>0 Зависимости Е(х) и ϕ (х) представлены на рисунке 1.

2. Две плоскопараллельные тонкие пластины, расположенные на малом расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены зарядом поверхностной плотностью σ 1 и σ 2 . Найдите напряжённости поля в точках, лежащих между пластинами и с внешней стороны. Постройте график зависимости напряжённости Е(х) и потенциала ϕ (х), считая ϕ (0)=0. Рассмотрите случаи, когда: a) σ 1 =-σ 2 ; б) σ 1 = σ 2 ; в) σ 1 =3 σ 2 -

Решение. Так как расстояние между пластинами мало, то их можно рассматривать как бесконечные плоскости.

Напряжённость поля положительно заряженной плоскости равна и направлена от неё; напряжённость поля отрицательно заряженной плоскости направлена к ней.

Согласно принципу суперпозиции поле в любой рассматриваемой точке будет создаваться каждым из зарядов в отдельности.

а) Поля двух плоскостей, заряженных равными и противоположными по знаку зарядами (плоский конденсатор), складываются в области между плоскостями и взаимно уничтожаются во внешних областях (рис. 2, а).

При х <0 Е = 0, ϕ =0; при 0 d Е= 0, Графики зависимости напряжённости и потенциала от расстояния х приведены на рисунке 2, б, в.

Если плоскости конечных размеров, то поле между плоскостями не будет строго однородным, а поле вне плоскостей не будет точно равно нулю.

б) Поля плоскостей, заряженных равными по величине и знаку зарядами (σ 1 = σ 2 ), компенсируют друг друга в пространстве между плоскостями и складываются во внешних областях (рис. 3, а). При х<0 при 0d

Воспользовавшись графиком Е(х) (рис. 3, б), построим качественно график зависимости ϕ (х) (рис. 3, в).

в) Если σ 1 = σ 2 , то, учитывая направления полей и выбирая направление направо за положительное, находим:

Зависимость напряжённости Е от расстояния показана на рисунке 4.

3. На одной из пластин плоского конденсатора ёмкостью С находится заряд q 1 =+3q , а на другой q 2 =+ q. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Решение. 1-й способ. Пусть площадь пластины конденсатора S, а расстояние между ними d. Поле внутри конденсатора однородное, поэтому разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе можно определить по формуле U=E*d, где Е - напряжённость поля внутри конденсатора.

где Е 1 , Е 2 - напряжённости поля, создаваемого пластинами конденсатора.

Тогда

2-й способ. Добавим на каждую пластину заряд Тогда пластины конденсатора будут иметь заряды + q и -q. Поля одинаковых зарядов пластин внутри конденсатора компенсируют друг друга. Добавленные заряды не изменили поле между пластинами, а значит, и разность потенциалов на конденсаторе. U= q/C .

4. В пространство между обкладками незаряженного плоского конденсатора вносят тонкую металлическую пластину, имеющую заряд +q . Определите разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Решение. Так как конденсатор не заряжен, то электрическое поле создаётся только пластиной, имеющей заряд q (рис. 5). Это поле однородное, симметричное относительно пластины, и его напряжённость Пусть потенциал металлической пластины равен ϕ . Тогда потенциалы обкладок А и В конденсатора будут равны ϕ- ϕ А = ϕ El 1 ; ϕ А = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Разность потенциалов между обкладками конденсатора Если пластина находится на одинаковом расстоянии от обкладок конденсатора, то разность потенциалов между обкладками равна нулю.

5. В однородное электрическое поле напряжённостью Е 0 перпендикулярно силовым линиям помещают заряженную металлическую пластину с плотностью заряда на поверхности каждой стороны пластины σ (рис. 6). Определите напряжённость поля Е" внутри и снаружи пластины и поверхностную плотность зарядов σ 1 и σ 2 , которая возникнет на левой и правой сторонах пластины.

Решение. Поле внутри пластины равно нулю и является суперпозицией трёх полей: внешнего поля Е 0 , поля, создаваемого зарядами левой стороны пластины, и поля, создаваемого зарядами правой стороны пластины. Следовательно, где σ 1 и σ 2 - поверхностная плотность заряда на левой и правой сторонах пластины, которая возникает после внесения пластины в поле Е 0 . Суммарный заряд пластины не изменится, поэтому σ 1 + σ 2 =2 σ , откуда σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Поле снаружи пластины является суперпозицией поля Е 0 и поля заряженной пластины Е . Слева от пластины Справа от пластины

6. В плоском воздушном конденсаторе напряжённость поля Е= 10 4 В/м. Расстояние между обкладками d= 2 см. Чему будет равна разность потенциалов, если между пластинами параллельно им поместить металлический лист толщиной d 0 =0,5 см (рис. 7)?

Решение. Поскольку электрическое поле между пластинами однородное, то U=Ed, U=200 В.

Если между пластинами пометить металлический лист, то получается система из двух последовательно соединённых конденсаторов с расстоянием между пластинами d 1 и d 2 . Ёмкости этих конденсаторов Их общая ёмкость

Так как конденсатор отключён от источника тока, то заряд конденсатора при внесении металлического листа не меняется: q"=CU=С"U 1 ; где емкость конден сатора до внесения в него металлического листа. Получаем:

U 1 = 150 В.

7. На пластинах А и С, расположенных параллельно на расстоянии d= 8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы ϕ 1 = 60 В и ϕ 2 =- 60 В соответственно. Между ними поместили заземлённую пластину D на расстоянии d 1 = 2 см от пластины А. На сколько изменилась напряжённость поля на участках AD и CD? Постройте графики зависимостей ϕ (x ) и Е(х).

Потенциал поля

Потенциал поля

Потенциал поля

потенциалов поля

Потенциал электрического поля точечного заряда Q в точке:

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R , заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре ) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

.

(2.5.6)

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

27. Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Потенциал поля - это энергетическая характеристика поля, характеризует потенциальнную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.

Единица электрического потенциала - вольт (В).

Потенциал поля равнен отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду:

Потенциал поля является энергетической характеристикой электрического поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения.

Физический смысл имеет разность потенциалов поля , так как через нее выражается работа сил поля по перемещению заряда.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Введем понятие поверхностной плотности заряда >0, численно равной заряду единицы площади:

В силу однородности и изотропности пространства силовые линии поля равномерно заряженной бесконечной плоскости должны быть перпендикулярными к ней и иметь равномерную густоту, что соответствует определению однородности поляЕ =const. В качестве "удобной" замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, боковая поверхность которого параллельна силовым линиям (везде на ней 0 и, следовательно, поток сквозь нее равен 0), а торцевые поверхности площадью S - параллельны заряженной плоскости (так что везде на них 1):

Поток однородного поля Е сквозь обе перпендикулярные ему торцевые поверхности S равен просто Е 2S, а заряд, сосредоточенный на участке площадью S заряженной поверхности, равен S:

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS ; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS , расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Электростатическое поле обладает важным свойством: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями. Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными . На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю. Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии спринципом суперпозиции будет складываться из работ кулоновских полей точечных зарядов: Так как каждый член суммы не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек. Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q , помещенного в эту точку, принимается равной нулю. Потенциальная энергия заряда q , помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A 10 , которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0): W p1 = A 10 . (В электростатике энергию принято обозначать буквой W , так как буквой E обозначают напряженность поля.) Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства. Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет ПОИСК ПО САЙТУ:

Для расчёта полей, созданных зарядами, которые равномерно распределены по сферическим, цилиндрическим или плоским поверхностям, применяют теорему Остроградского – Гаусса (раздел 2.2).

Методика расчёта полей с помощью теоремы

Остроградского - Гаусса .

1) Выбираем произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряженное тело.

2) Вычисляем поток вектора напряжённости сквозь эту поверхность.

3) Вычисляем суммарный заряд, охваченный этой поверхностью.

4) Подставляем в теорему Гаусса вычисленные величины и выражаем напряжённость электростатического поля.

Примеры расчёта некоторых полей

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити) .

Пусть бесконечный цилиндр радиусом R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда + τ (рис. 16).

Из соображений симметрии следует, что линии напряжённости поля в любой точке будут направлены вдоль радиальных прямых, перпендикулярных оси цилиндра.

В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный с данным (с общей осью симметрии) цилиндр радиусом r и высотой ℓ .

Рассчитаем поток вектора через данную поверхность:

,

где S осн , S бок – площади оснований и боковой поверхности.

Поток вектора напряжённости сквозь площади оснований равен нулю, поэтому

Суммарный заряд, охватываемый выбранной поверхностью:

.

Подставив всё в теорему Гаусса, с учетом того, что ε = 1, получим:

.

Напряжённость электростатического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным цилиндром или бесконечно длинной равномерно заряженной нитью в точках, расположенных вне её:

, (2.5)

где r – расстояние от оси цилиндра до заданной точки (r ≥ R );

τ - линейная плотностью заряда.

Если r < R , то рассматриваемая замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0, т. е. внутри цилиндра, поля нет .

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью+ σ .

В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей (рис. 17). Так как линии, образующие боковую поверхность цилиндра, параллельны линиям напряжённости, то поток вектора напряжённости сквозь боковую поверхность равен нулю. Поток вектора напряженности сквозь две площади основания

.

Суммарный заряд, охватываемый выбранной поверхностью:

.

Подставив всё в теорему Гаусса, получим:

Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

. (2.6)

Из данной формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, то есть напряжённость поля одинакова во всех точках. Иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Поле двух бесконечных параллельных

разноимённо заряженных плоскостей

Пусть плоскости равномерно заряжены с одинаковыми по величине поверхностными плотностями +σ и –σ (рис. 18).

Согласно принципу суперпозиции,

.

Из рисунка видно, что в области между плоскостями силовые линии сонаправлены, поэтому результирующая напряжённость

. (2.7)

Вне объёма, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Полученный результат приближённо справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями много меньше их площади (плоский конденсатор).

Если на плоскостях распределены заряды одного знака с одинаковой поверхностной плотностью, то поле отсутствует между пластинами, а вне пластин вычисляется по формуле (2.7).

Напряжённость поля

равномерно заряженной сферы

Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R , заряженной с поверхностной плотностью заряда σ , будет центрально симметричным, поэтому линии напряжённости направлены вдоль радиусов сферы (рис. 19, а).

В качестве замкнутой поверхности выберем сферу радиуса r , имеющую общий центр с заряженной сферой.

Если r > R , то внутрь поверхности попадает весь заряд Q .

Поток вектора напряжённости сквозь поверхность сферы

Подставив это выражение в теорему Гаусса, получим:

.

Напряжённость электростатического поля вне равномерно заряженной сферы:

, (2.8)

где r – расстояние от центра сферы.

Отсюда видно, что поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.

Если r < R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри заряженной сферы поле отсутствует (рис.19, б).

Напряженность поля объёмно

заряженного шара

Пусть шар радиусаR заряжен с постоянной объёмной плотностью заряда ρ .

Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Для напряжённости поля вне шара получается тот же результат, что и в случае поверхностно заряженной сферы (2.8).

Для точек внутри шара напряжённость будет другая (рис. 20). Сферическая поверхность охватывает заряд

Поэтому, согласно теореме Гаусса

Учитывая, что
, получим:

Напряжённость электростатического поля, внутри объемно заряженного шара

(r ≤ R ). (2.9)

.

Задача 2.3 . В поле бесконечно длинной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ подвешен на нити маленький шарик массой m , имеющий заряд того же знака, что и плоскость. Найти заряд шарика, если нить образует с вертикалью угол α

Решение. Вернемся к разбору решения задачи 1.4. Разница заключается в том, что в задаче 1.4 сила
вычисляется по закону Кулона (1.2), а в задаче 2.3 – из определения напряженности электростатического поля (2.1)
. Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости выведена с использованием теоремы Остроградского-Гаусса (2.4).

Поле плоскости однородно и не зависит от расстояния до плоскости. Из рис. 21:

.

 Обратите внимание , что для нахождения силы, действующей на заряд, помещенный в поле распределенного заряда, необходимо использовать формулу

,

а напряженность поля, созданного несколькими распределенными зарядами, находить по принципу суперпозиции. Поэтому последующие задачи посвящены нахождению напряженности электростатического поля распределенных зарядов с использованием теоремы Остроградского-Гаусса.

Задача 2.4. Опередить напряженность поля внутри и вне равномерно заряженной пластинки толщиной d , объемная плотность заряда внутри пластинки ρ . Построить график зависимости Е (х ).

Решение. Начало координат поместим в средней плоскости пластинки, а ось ОХ направим перпендикулярно к ней (рис. 22, а). Применим теорему Остроградского-Гаусса для расчета напряженности электростатического поля заряженной бесконечной плоскости, тогда

.

Из определения объемной плотности заряда

,

тогда для напряженности получим

.

Отсюда видно, что поле внутри пластинки зависит от х . Поле вне пластинки рассчитывается аналогично:

Отсюда видно, что поле вне пластинки однородно. График зависимости напряженности Е от х на рис. 22, б.

Задача 2.5. Поле создано двумя бесконечно длинными нитями, заряженными с линейными плотностями зарядов – τ 1 и + τ 2 . Нити расположены перпендикулярно друг другу (рис. 23). Найти напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r 1 и r 2 от нитей.

Решение. Покажем на рисунке напряжённость поля, созданного каждой нитью отдельно. Вектор направленк первой нити, так как она заряжена отрицательно. Вектор направленот второй нити, так как она заряжена положительно. Векторы ивзаимно перпендикулярны, поэтому результирующий векторбудет являться гипотенузой прямоугольного треугольника. Модули векторовиопределяются по формуле (2.5).

По принципу суперпозиции

.

По теореме Пифагора

Задача 2.6 . Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными полыми коаксиальными цилиндрами радиусами R 1 и R 2 > R 1 . Поверхностные плотности зарядов равны – σ 1 и + σ 2 . Найти напряжённость электростатического поля в следующих точках:

а) точка А расположена на расстоянии d 1 < R 1 ;

б) точка В расположена на расстоянии R 1 < d 2 < R 2 ;

в) точка С расположена на расстоянии d 3 > R 1 > R 2 .

Расстояния отсчитываются от оси цилиндров.

Решение. Коаксиальные цилиндры – это цилиндры, имеющие общую ось симметрии. Сделаем рисунок и покажем на нем точки (рис. 24).

Е А = 0.

точка В расположена внутри бóльшего цилиндра, поэтому в этой точке поле создаётся только меньшим цилиндром:

.

Выразим линейную плотность заряда через поверхностную плотность заряда. Для этого воспользуемся формулами (1.4) и (1.5), из которых выразим заряд:

Приравняем правые части и получим:

,

где S 1 – площадь поверхности первого цилиндра.

С учётом того, что
, окончательно получим:

точка С расположена снаружи обоих цилиндров, поэтому поле создаётся обоими цилиндрами. По принципу суперпозиции:

.

С учётом направлений и расчётов, полученных выше, получим:

.

Задача 2.7 . Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными параллельными плоскостями. Поверхностные плотности зарядов равны σ 1 и σ 2 > σ 1 . Найти напряжённость электростатического поля в точках, находящихся между пластинами и вне пластин. Решить задачу для двух случаев:

а) пластины одноимённо заряжены;

б) пластины разноимённо заряжены.

Решение. В векторном виде напряжённость результирующего поля в любом случае записывается одинаково. Согласно принципу суперпозиции:

.

Модули векторов ивычисляются по формуле (2.6).

а) Если плоскости заряжены одноимённо, то между плоскостями напряжённости направлены в разные стороны (рис. 26, а). Модуль результирующей напряжённости

Вне плоскостей напряжённости инаправлены в одну сторону. Так как поле бесконечных заряженных плоскостей однородно, то есть не зависит от расстояния до плоскостей, то в любой точке и слева и справа от плоскостей поле будет одинаково:

.

б) Если плоскости заряжены разноимённо, то, наоборот, между плоскостями напряжённости направлены в одну сторону (рис. 26, б), а вне плоскостей – в разные.